En se basant sur les travaux de Lemke Oliver et Soundararajan, qui on \'etudi\'e le cas des premiers successifs dans les progressions arithm\'etiques, nous pr\'esentons un mod\`ele bas\'e sur les conjectures de Hardy-Littlewood (pour les sommes de 2 carr\'es) qui explique les fluctuations entre les classes $(a,b)$.

En collaboration avec L. Devin, J. Nam et J. Schlitt.

C'est un travaille joint avec Lea Beneish.

Il s'agit d'un travail conjoint avec Peng-Jie Wong (NCTS, Taiwan).

Few authors have considered to problem of covering a ring by its proper subrings. We say that a ring $R$ is coverable if $R$ is equal to a union of its proper subrings. If this can be done using a finite number of proper subrings, then $\sigma(R)$ denotes the \emph{covering number} of $R$, which is the minimum number of subrings required to cover $R$. We set $\sigma(R)=0$ if $R$ is not coverable, and we set $\sigma(R)=\infty$ if $R$ is coverable but not by a finite number of proper subrings.

Werner worked toward determining when it is possible to cover a ring with proper subrings and completely solved this problem for finite semisimple rings.

In this talk, among other results, we will further explore this concept of coverable rings

Les preuves utilisent un mélange amusant d'idées issues de méthodes de crible, de l'arithmétique des polynômes sur des corps finis, de l'analyse de Fourier $p$-adique, des nombres premiers à chiffres restreints, de la théorie de Galois et de la théorie des groupes.

\centerline{$\omega^6= D^6+6D^4 d+9D^2d^2+2d^3 \quad \mbox{et} \quad \theta=\sqrt{D^2+4d} $}

\noindent avec $D\in {\mathbb N}, \, d\in {\mathbb Z}$ \, et $d|D$. Ici

\centerline{$ \omega^6= \alpha^6+\beta^6 \quad \mbox{ avec } \quad \alpha=\frac12 D+\frac 12 \theta\;\mbox{ et } \;\beta=\frac 12D-\frac 12 \theta. $} \noindent Soit $\eta $ l'unit\'e fondamentale du corps quadratique ${\mathbb Q}(\theta)$. De concert avec H.J. Stender, nous prouvons que sous certaines hypoth\`eses, $$ \left\{ \frac{\omega-\alpha} {\beta} , \quad \frac{\omega-\beta} {\alpha} , \quad \frac{\omega^2-\alpha^2}{\beta^2} , \quad \frac{\omega^2-\beta^2} {\alpha^2},\quad \frac{\omega^3-\alpha^3}{\beta^3}, \quad\frac{\omega^3-\beta^3} {\alpha^3} , \quad \eta \right\} $$ est un syst\`eme fondamental d'unit\'es de ${\mathbb K}={\mathbb Q}(\omega, \theta)$. Nous ferons quelques commentaires sur le groupe des unit\'es de la fermeture normale ${\mathbb F}$ de ${\mathbb K}\; $ (de degr\'e $24$ sur ${\mathbb Q}$).

Dans cet exposé nous présenterons plusieurs applications de la méthode de Matomaki et Radziwill à l'étude des sommes de fonctions additives dans les intervalles courts, ainsi que leurs conséquences portant sur le comportement local de ces fonctions.

Dans ce but, Peter Schneider a introduit il y a quelques années l'algèbre différentielle graduée du pro-p Iwahori de G et montré (sous certaines hypothèses) que la catégorie dérivée de ses modules différentiels est équivalente à la catégorie dérivée des représentations de G en caractéristique p.

Dans un travail en commun avec Peter Schneider, nous explorons cette algèbre différentielle graduée, ou plus particulièrement sa cohomologie. Cet exposé rendra compte de certains résultats remarquables.

Il s'agit d'un travail en collaboration avec Arne Winterhof.

Pour la première partie de cet exposé, nous donnerons un historique très bref des paires diophantiennes. Dans la deuxième partie, nous examinerons l'extensibilité du couple diophantien $ \{a, b \}, $ o\`u $ b = 3a $ et prouverons qu'un tel ensemble ne peut pas être étendu à un quadruple diophantien irrégulier. Enfin, nous verrons que pour $ b = 8a $, on obtient un résultat similaire.

Cet exposé est basé sur un article commun avec Adédji, He et Pintér.

Nous disons qu'un entier est \emph{quasi-carré} s'il est le produit d'un nombre premier et un carré. Mignotte et Peth\H{o} (1993) ont prouvé que, pour tout entiér $a>3$, il n'y a aucun élément qui soit un carré, deux fois un carré ou trois fois un carré dans la suite définie par $u_{0}=0$, $u_{1}=1$ et $u_{n+2}=au_{n+1}-u_{n}$ pour $n \geq 0$, dès que $n>4$.

Nos travaux suggèrent un énoncé plus fort. Pour $n>7$, il semble qu'il n'y ait aucun élément de cette suite qui soit un quasi-carré.

Pour la relation de récurrence plus générale $u_{n+2}=au_{n+1}-b^{2}u_{n}$ avec $a>b^{2}$, la même chose semble s'appliquer dès que $n>13$.

Nous expliquons pourquoi cela semble être le cas. Nous présentons les résultats partiels que nous avons obtenus dans cette direction.

We say an integer is a \emph{near-square} if it is a prime times a square. Mignotte and Peth\H{o} (1993) proved that, for all integers $a>3$, there are no elements that are squares, two times squares or three times squares in the sequence defined by $u_{0}=0$, $u_{1}=1$ and $u_{n+2}=au_{n+1}-u_{n}$ for $n \geq 0$, once $n>6$.

Our investigations suggest that something stronger is happening. For $n>7$, it appears that there are no elements in this sequence that are near squares.

Generalising the recurrence relation to $u_{n+2}=au_{n+1}-b^{2}u_{n}$ with $a>b^{2}$, then the same appears to hold once $n>13$.

We explain why this appears to be the case and give our partial results in this direction.

Istvan Gaal and Laszlo Remete determined the small integral solutions to binary quartic Thue equations of the form $x^4-dy^4=\pm1$, and used their results to determine pure quartic number fields of discriminant up to $10^7$ which contain a power integral basis. In our talk, we propose a new way to approach this Diophantine problem, and we also show how an effective version of the abc conjecture would allow for considerable improvements. This is joint work with Michael Bennett.