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SS3 - Théorie des nombres / SS3 - Number Theory
Org: D. Roy (Ottawa) et/and M. Waldschmidt (Paris)


BORIS ADAMCZEWSKI, Orsay
Sur la complexité des nombres algébriques

Bien que les conjectures et spéculations soient nombreuses, peu de choses sont aujourd'hui connues sur la nature combinatoire du développement b-adique des nombres algébriques irrationnels ou du développement en fraction continue des nombres réels algébriques de degré au moins 3. Nous présenterons quelques résultats récemment obtenus sur le sujet à l'aide du théorème des sous-espaces de W. Schmidt. En particulier, nous démontrerons le résultat suivant, conjecturé par A. Cobham en 1968 : le développement b-adique d'un nombre algébrique irrationnel ne peut être engendré par un automate fini.

FRANCESCO AMOROSO, Université de Caen, BP 5186, 14032 Caen Cedex
Minorations de la hauteur de Weil et groupe de classes d'idéaux

Dans la première partie de cet exposé on abordera le problème de la minoration de la hauteur de Weil dans un corps CM.

Nous rappellerons d'abord un résultat de Schinzel : dans un corps CM, la hauteur, en dehors des nombres de module 1, est minorée par une constante absolue.

On montrera ensuite une généralisation aux extensions abéliennes imaginaires des rationnels : dans ces extensions, la hauteur, en dehors des racines de 1, est minorée par une constante absolue.

On construira enfin des familles de corps CM dans lesquelles ce dernier résultat est faux.

Dans la deuxième partie de cet exposé, nous présenterons différents résultats sur la taille du groupe de classes d'idéaux d'un corps de nombres. Ces résultats sont obtenus en combinant des minorations pour la hauteur de Weil d'un nombre algébrique avec des estimations analytiques sur les idéaux de petite norme.

PETER BORWEIN, Simon Fraser University, Burnaby, BC V5A 1S6
The Mahler Measure of Polynomials with Odd Coefficients

We resolve an old conjecture of Schinzel and Zassenhaus for the class of polynomials with no cyclotomic factors whose coefficients are all odd.

More generally, we solve the problems of Lehmer for irreducible polynomials in the above class by showing that the Mahler measure of such polynomials is bounded away from 1.

PIERRE CARTIER, I.H.E.S., 35 route de Chartres, 91440 Bures-sur-Yvette, France
A geometric stucture behind the properties of the multizeta values

The purpose of this talk is to give a new perspective on the relations between the MZV (multizeta values). While the standard definition of these numbers is through infinite multiple series, we would like to base everything on integral representations. It is known that a MZV can be expressed as a multiple integral whose number of variables is given by the weight of the MZV in question. It is known that the configuration space M(O,n) is of dimension n-3, and that this space can be compactified as a projective nonsingular algebraic variety, with a divisor of normal crossing. The real points of this compactified moduli space are given with a very explicit decomposition into polyhedra, the famous associahedra introduced by Stasheff (see a recent review by S. Devadoss in the Notices of the AMS (6) 51(2004), 620-628. These tessellations have interesting group of symmetries, which explain the symmetries discovered by Rhin and Viola. In the spirit of the "abstract periods" introduced by M. Kontsevich and D. Zagier, we give a cohomological formulation of the family of integrals expressing the MZV's. We use this to formulate a program of study of the transcendence properties of the MZV's (in the line of Beuker's proof of Apéry's result).

CORNELIUS GREITHER, Universitaet der Bundeswehr, 85577 Neubiberg, RFA
Autour d'une conjecture récente de Burns dans l'esprit de Gross

La conjecture de Stark postule un lien entre le régulateur et les fonctions L attachées à une extension L/K G-galoisienne, tout en tenant compte de l'action de G. Dans une conjecture de Gross qui date des années 80, le régulateur ordinaire (qui prend ses valeurs dans les nombres complexes) est remplacé par un régulateur "algébrique" qui prend ses valeurs dans l'anneau de groupe Z [G]. Burns a récemment trouvé une conjecture qui redonne la conjecture de Stark et celle de Gross à la fois, par spécialisations convenables.

Dans cet exposé, nous ne discuterons la conjecture de Burns que dans un cadre assez spécial et accessible. En particulier elle donne naissance à une conjecture sur les parties moins de certains groupes d'unités, et cette dernière sera formulée en termes bien concrets. Notre conjecture "moins" admet une interprétation naturelle comme résultat décrivant le changement de base pour la conjecture de Burns dans notre cadre.

On expliquera les résultats peu nombreux sur la conjecture "moins" que l'on connaît à présent. Au moins l'un d'entre eux permet une minoration (que l'on va présenter) du nombre de classes de certains corps abéliens, par une expression de croissance très rapide.

ADRIAN IOVITA, Concordia University, Montreal, Canada
A p-adic overconvergent Eichler-Shimura map

Jointly with Glenn Stevens we have been able to relate étale cohomology on a certain rigid analytic open subset of the modular curve to overconvergent modular forms. This construction allows one to interpret overconvergent modular forms of non-integral weight as sections of a certain sheaf on the modular curve.

GAËL RÉMOND, Université Grenoble I
Intersection de sous-groupes et de sous-variétés sur les variétés abéliennes

Un théorème célèbre de Faltings affirme que les points rationnels sur un corps de nombres d'une sous-variété d'une variété abélienne ne sont pas dense dans cette sous-variété sauf si elle possède elle-même une structure de variété abélienne. Grâce au thèorème de Mordell-Weil, cet énoncé est équivalent à la non-densité de l'intersection de la sous-variété considérée avec un sous-groupe de type fini. Nous montrons comment la méthode introduite par Vojta et étendue par Faltings permet d'étudier des intersections plus générales que celles-ci.

CAMERON L. STEWART, University of Waterloo, Waterloo, Ontario
On intervals with few prime numbers

In this talk we shall discuss joint work with H. Maier where we prove that there are long intervals containing fewer prime numbers than the average for intervals of such length.

JING YU, NCTS and Academia Sinica, Taiwan
On Drinfeld's Exponentials

We report on transcendence properties of the exponential functions associated to Drinfeld A-modules defined over global function field K of generic A-characteristic. Here the arithmetical ring A consists of functions regular away from a chosen ¥. One associates each Drinfeld A-module f with an exponential function ef which linearizes the given nonlinear A-action on Ga. The domain of these exponentials is [`(k)]¥, a fixed algebraic closure of the completion of the fraction field k of A at ¥.

The k-vector space L = ef-1([`(k)]) is of central interest. We will survey the known results and discuss the open problems. These include results which are analogues of Hermite-Lindemann, Lindemann-Weierstrass, Baker, and Roy-Waldschmidt for the classical exponentials. The open problems are about a phenomenon which is an analogue of Schanuel's conjecture.

 


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