Dans cet exposé, je parlerai de progrès récents concernant les liens entre les (j,G)-modules et des objets qui généralisent les représentations p-adiques (B-paires, presque C_p-représentations).

Dans ce travail en commun avec F. Andreatta, on généralise à une situation relative la construction d'un module à connexion D_dif(V) associé à une représentation galoisienne p-adique V, et on montre que la représentation V est de de Rham si et seulement si D_dif(V) est trivial. Pour ce faire, on utilise la théorie de Sen généralisée, qu'on relève à B_dR⁺. Récemment, T. Tsuji a utilisé ces résultats pour prouver une propriété de pureté pour les représentations de de Rham.

Dans cet exposé je présenterai le calcul explicite du régulateur p-adique considéré par Kato, pour certains éléments du K₂ des courbes modulaires. J'expliquerai, en particulier, comment utiliser la machine de Perrin-Riou pour obtenir un lien avec les fonctions L p-adiques.

Let K be a CM field with totally real subfield F. Let M be a motive over F with coefficient in a number field C. Suppose that M is symplectic and pure of weight -1.

In some cases, the Bloch-Kato conjectures and global sign considerations suggest that there should exist an Euler System for M over K. Under some further assumptions (automorphicity and behavior of M at the archimedean places), conjectures of Langlands, Vogan, Arthur and local sign considerations suggest the construction of (a candidate for) such an Euler system. For M = h¹(E)(1) with E an elliptic curve over F=Q, the whole process yields just the classical Euler system of Heegner points.

Let E be an elliptic curve over Q. For each prime p of good reduction, E reduces to a curve over F_p, the Frobenius endormorphism of E/F_p satisfies x² - a_p(E) x + p, and the Frobenius ring Z[Ö{a_p²-4p}] is a subring of the endomorphism ring End(E/F_p). It is then natural to ask whether the Frobenius ring is the full endomorphism ring, or whether the Frobenius ring is the maximal order in Q[Ö{a_p²-4p}].

The second question is a refinement of the first one, and seems to be more difficult. For example, it is not known that there exists infinitely many such primes. For CM curves, the Frobenius ring is the maximal order in Q[Ö{a_p²-4p}] if and only if p lies in a quadratic progression.

We will show in this talk that on average, the correct asymptotic holds for the number of primes p such that a_p² - 4p is square-free (and then the Frobenius ring is the maximal order). We can also restrict a_p²-4p to an arithmetic progression.

This is joint work with Jorge Jimenez Urroz (UPC, Barcelona).

For a given non-zero integer a other than 1, -1, or a perfect square, Artin's primitive root conjecture is about the density of primes p for which a is a primitive root of (Z/p Z)^*. Li and Pomerance formulated and proved an analogue of this conjecture to composite moduli. In this talk, we will prove a Carlitz module analogue of Li and Pomerance's results.

This is a joint work with E. Eisenstein, A. Felix, L. Jain, X. Li, and Y.-R. Liu.

Let F_q [t] be the ring of polynomials over the finite field F_q. In this talk, we will discuss a generalization of Vinogradov's mean value theorem in F_q [t]. We will apply our result to obtain an upper bound for [(G)\tilde]_q (k), which is the least integer s such that for every polynomial in F_q [t] of sufficiently large degree, the expected asymptotic formula in Waring's problem holds.

This is a joint work with Trevor Wooley.

I will present a work in progress aiming to develop a theory of microlocalisation for Berthelot's arithmetic D-modules over a curve.

Je présenterai les progrès récents d'un travail en cours visant à une théorie de la microlocalisation pour les D-module arithmétiques de Berthelot sur une courbe.

In 1981, Fedor Bogomolov conjectured that every rational point on a K3 surface lies on a rational curve on that surface. While this conjecture is still an open problem, it is widely believed to be false. In this talk, I'll describe the conjecture, give some background, and describe one idea of how to disprove the conjecture.

Nous considérons le groupe linéaire général p-adique GL₂(F) et nous intéressons à ses représentations lisses à coefficients dans un corps de caractéristique p. Nous montrons que l'une d'entre elles, le pro-p-module universel, est isomorphe à l'homologie du système de coefficients sur l'arbre de Bruhat-Tits qui lui est naturellement associé.

Grâce à cette propriété nous explorons les représentations de GL₂(F) selon la nature du corps p-adique F.

Nous évoquons les questions soulevées par le cas de GL₃ et les résultats obtenus (travail en commun avec V. Sécherre).