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SS3 - Théorie des nombres / SS3 - Number Theory
Org: D. Roy (Ottawa) et/and M. Waldschmidt (Paris)
- BORIS ADAMCZEWSKI, Orsay
Sur la complexité des nombres algébriques
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Bien que les conjectures et spéculations soient nombreuses, peu de
choses sont aujourd'hui connues sur la nature combinatoire du
développement b-adique des nombres algébriques irrationnels ou
du développement en fraction continue des nombres réels
algébriques de degré au moins 3. Nous présenterons quelques
résultats récemment obtenus sur le sujet à l'aide du
théorème des sous-espaces de W. Schmidt. En particulier, nous
démontrerons le résultat suivant, conjecturé par A. Cobham en
1968 : le développement b-adique d'un nombre algébrique
irrationnel ne peut être engendré par un automate fini.
- FRANCESCO AMOROSO, Université de Caen, BP 5186, 14032 Caen Cedex
Minorations de la hauteur de Weil et groupe de classes d'idéaux
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Dans la première partie de cet exposé on abordera le problème de
la minoration de la hauteur de Weil dans un corps CM.
Nous rappellerons d'abord un résultat de Schinzel : dans un corps
CM, la hauteur, en dehors des nombres de module 1, est minorée
par une constante absolue.
On montrera ensuite une généralisation aux extensions abéliennes
imaginaires des rationnels : dans ces extensions, la hauteur, en
dehors des racines de 1, est minorée par une constante absolue.
On construira enfin des familles de corps CM dans lesquelles ce
dernier résultat est faux.
Dans la deuxième partie de cet exposé, nous présenterons
différents résultats sur la taille du groupe de classes d'idéaux
d'un corps de nombres. Ces résultats sont obtenus en combinant des
minorations pour la hauteur de Weil d'un nombre algébrique avec des
estimations analytiques sur les idéaux de petite norme.
- PETER BORWEIN, Simon Fraser University, Burnaby, BC V5A 1S6
The Mahler Measure of Polynomials with Odd Coefficients
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We resolve an old conjecture of Schinzel and Zassenhaus for the class
of polynomials with no cyclotomic factors whose coefficients are all
odd.
More generally, we solve the problems of Lehmer for irreducible
polynomials in the above class by showing that the Mahler measure of
such polynomials is bounded away from 1.
- PIERRE CARTIER, I.H.E.S., 35 route de Chartres, 91440 Bures-sur-Yvette,
France
A geometric stucture behind the properties of the multizeta
values
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The purpose of this talk is to give a new perspective on the relations
between the MZV (multizeta values). While the standard definition of
these numbers is through infinite multiple series, we would like to
base everything on integral representations. It is known that a MZV
can be expressed as a multiple integral whose number of variables is
given by the weight of the MZV in question. It is known that the
configuration space M(O,n) is of dimension n-3, and that this
space can be compactified as a projective nonsingular algebraic
variety, with a divisor of normal crossing. The real points of this
compactified moduli space are given with a very explicit decomposition
into polyhedra, the famous associahedra introduced by Stasheff (see a
recent review by S. Devadoss in the Notices of the AMS (6)
51(2004), 620-628. These tessellations have interesting group of
symmetries, which explain the symmetries discovered by Rhin and Viola.
In the spirit of the "abstract periods" introduced by M. Kontsevich
and D. Zagier, we give a cohomological formulation of the family of
integrals expressing the MZV's. We use this to formulate a program of
study of the transcendence properties of the MZV's (in the line of
Beuker's proof of Apéry's result).
- CORNELIUS GREITHER, Universitaet der Bundeswehr, 85577 Neubiberg, RFA
Autour d'une conjecture récente de Burns dans l'esprit de Gross
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La conjecture de Stark postule un lien entre le régulateur et les
fonctions L attachées à une extension L/K G-galoisienne,
tout en tenant compte de l'action de G. Dans une conjecture de
Gross qui date des années 80, le régulateur ordinaire (qui prend ses
valeurs dans les nombres complexes) est remplacé par un régulateur
"algébrique" qui prend ses valeurs dans l'anneau de groupe Z [G]. Burns a récemment trouvé une conjecture qui redonne la
conjecture de Stark et celle de Gross à la fois, par
spécialisations convenables.
Dans cet exposé, nous ne discuterons la conjecture de Burns que dans
un cadre assez spécial et accessible. En particulier elle donne
naissance à une conjecture sur les parties moins de certains groupes
d'unités, et cette dernière sera formulée en termes bien
concrets. Notre conjecture "moins" admet une interprétation
naturelle comme résultat décrivant le changement de base pour la
conjecture de Burns dans notre cadre.
On expliquera les résultats peu nombreux sur la conjecture "moins"
que l'on connaît à présent. Au moins l'un d'entre eux permet
une minoration (que l'on va présenter) du nombre de classes de
certains corps abéliens, par une expression de croissance très
rapide.
- ADRIAN IOVITA, Concordia University, Montreal, Canada
A p-adic overconvergent Eichler-Shimura map
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Jointly with Glenn Stevens we have been able to relate étale
cohomology on a certain rigid analytic open subset of the modular
curve to overconvergent modular forms. This construction allows one to
interpret overconvergent modular forms of non-integral weight as
sections of a certain sheaf on the modular curve.
- GAËL RÉMOND, Université Grenoble I
Intersection de sous-groupes et de sous-variétés sur les
variétés abéliennes
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Un théorème célèbre de Faltings affirme que les points
rationnels sur un corps de nombres d'une sous-variété d'une
variété abélienne ne sont pas dense dans cette sous-variété
sauf si elle possède elle-même une structure de variété
abélienne. Grâce au thèorème de Mordell-Weil, cet énoncé
est équivalent à la non-densité de l'intersection de la
sous-variété considérée avec un sous-groupe de type fini.
Nous montrons comment la méthode introduite par Vojta et étendue
par Faltings permet d'étudier des intersections plus générales
que celles-ci.
- CAMERON L. STEWART, University of Waterloo, Waterloo, Ontario
On intervals with few prime numbers
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In this talk we shall discuss joint work with H. Maier where we prove
that there are long intervals containing fewer prime numbers than the
average for intervals of such length.
- JING YU, NCTS and Academia Sinica, Taiwan
On Drinfeld's Exponentials
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We report on transcendence properties of the exponential functions
associated to Drinfeld A-modules defined over global function field
K of generic A-characteristic. Here the arithmetical ring A
consists of functions regular away from a chosen ¥. One
associates each Drinfeld A-module f with an exponential
function ef which linearizes the given nonlinear A-action on
Ga. The domain of these exponentials is [`(k)]¥,
a fixed algebraic closure of the completion of the fraction field k
of A at ¥.
The k-vector space L = ef-1([`(k)]) is of
central interest. We will survey the known results and discuss the
open problems. These include results which are analogues of
Hermite-Lindemann, Lindemann-Weierstrass, Baker, and Roy-Waldschmidt
for the classical exponentials. The open problems are about a
phenomenon which is an analogue of Schanuel's conjecture.
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