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Conférenciers principaux / Plenary Speakers

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GREGOIRE ALLAIRE, CMAP, Ecole Polytechnique, 91128 Palaiseau, France
Recent progresses in shape and topology optimization

The typical problem of structural optimization is to find the "best" structure which is, at the same time, of minimal weight and of maximum strength or which performs a desired deformation. Optimizing the shape of a structure, i.e. moving its boundary in order to minimize a cost functional, is a well-established procedure since the pioneering work of J. Hadamard. However, optimizing the topology of a structure, i.e. finding the number and location of holes in an optimal structure, is a much more delicate issue. We shall describe two recent methods for topology optimization. The first one is based on the classical notion of shape derivative (computed by an adjoint method), coupled with the level-set method of Osher and Sethian. We numerically implemented this method in two and three space dimensions in the context of linear or non-linear elasticity. Although this method can easily handle topology changes, it does not cure the fundamental ill-posedness of structural optimization problems since the resulting optimal shape is strongly dependent on the initial guess. The second method is based on homogenization theory which allows us to compute a relaxed formulation of the minimization, which is thus well-posed. However, the range of applicability of this homogenization method is restricted. Both methods are very attractive because of their moderate computational cost since they capture an optimal shape on a fixed Eulerian mesh.

MICHÈLE ARTIGUE, Université Paris 7 Denis Diderot
Le défi de la transition secondaire / supérieur : que peuvent nous apporter les recherches didactiques et les innovations développées dans ce domaine ?

L'enseignement des mathématiques au niveau universitaire est confronté aujourd'hui à différents défis : la massification de l'enseignement qui atteint aujourd'hui l'université le confronte à des publics différents de ceux auxquels il était habitué ; l'enseignement secondaire qui a été touché avant lui a essayé de s'adapter à cette nouvelle donne à travers des évolutions tant des programmes que des pratiques pédagogiques et le décalage avec les attentes universitaires, qui avaient corrélativement moins bougé, s'est accru ; l'enseignement doit prendre en compte une évolution technologique dont les constantes de temps sont bien plus faibles que les siennes propres, et il doit bien sûr s'adapter à l'évolution des mathématiques elles-mêmes et des besoins scientifiques et sociaux qui les concernent. Tout ceci, il doit le faire dans un monde où l'image de la science s'est dégradée, où l'on n'associe plus systématiquement développement de la connaissance scientifique et progrès et où les études scientifiques attirent de moins en moins les étudiants ; dans un monde aussi, où l'éducation est présentée comme une valeur fondamentale, mais où l'on tend de plus en plus à concevoir l'éducation comme un marché comme les autres et à soumettre les systèmes éducatifs à des impératifs de rentabilité qui sont ceux du marché ordinaire.

Les réponses à ces défis ne sont pas toutes d'ordre mathématique et didactique, loin s'en faut, mais dans ma conférence, c'est sur ce terrain que je souhaiterais néanmoins me situer. Me centrant sur un des points critiques de l'enseignement au niveau universitaire : la transition secondaire / supérieur, et m'appuyant sur différents travaux de recherche et d'innovation menés en France et à l'étranger sur cette question, j'essaierai de montrer que les résultats de ces travaux, même s'ils ne prétendent pas fournir des solutions miraculeuses aux difficiles problèmes de cette transition, permettent de mieux les comprendre et d'envisager des réponses possibles. J'essaierai aussi de montrer que les réponses, si elles existent, n'ont rien d'universel tant sont diverses les cultures d'enseignement et les contraintes avec lesquelles les différents systèmes d'enseignement doivent composer, mais que cette diversité est aussi une chance car elle nous aide à questionner ce qui, pour des raisons d'histoire et de culture, nous apparaît souvent comme allant de soi et inquestionable, et nous empêche de penser d'autres futurs.

MAITINE BERGOUNIOUX, UMR 6628-MAPMO, Université d'Orléans, BP 6759, F-45067 Orléans Cedex 2, France
Optimal Control of Variational Inequalities: past and future / Contrôle optimal des inéquations variationnelles : historique et perspectives

We present a review of methods for optimal control for Variational Inequalities. We start with the well known theory of optimal control of PDE's and show where the difficulties lie when variational inequalities are investigated. We present many examples and open problems.

Nous présentons un aperçu des méthodes permettant de traiter des problèmes de contrôle optimal inéquations variationnelles. Nous partirons de la théorie bien connue pour les équations et montrerons où résident les difficultés. Nous donnerons plusieurs exemples et parlerons des problèmes ouverts.

JON BORWEIN, Faculty of Computer Science, Dalhousie University, Halifax, NS, Canada
Slices, bumps and cusps

Most significant results or constructions in non-smooth analysis rely on exposing and really understanding the appropriate underlying differentiable or convex objects. In this lecture, I shall illustrate this by discussing:

• Bumps and smooth variational principles.
  
  
• Derivatives and best approximations to general closed sets.
  
  
• Nondifferentiable mean value theorems.
  
  
• Bumps and the behaviour of generalized gradients.
  
  
• Convex functions and the Banach spaces they populate.
  
  

As an illustration, in Euclidean space, "every reasonable" connected set with zero in the interior of its domain is exactly the range of the gradient of a continuously differentiable function.

DAVID BRILLINGER, University of California, Berkeley
Stochastic dynamics of animal motion

Deterministic differential equations have long been used to model the motion of objects, for example in Newtonian mechanics. Later Brownian motion was employed to provide a stochastic description of the trajectories of free particles by Einstein and Smoluchowski. Next Chandrasekhar set down stochastic differential equations (SDEs) to describe the motion of objects in a field of force, having in mind the movement of stars. The work has continued with physicists, chemists and probabilists making important contributions.

This talk presents examples of the use of SDEs in R² to describe the motion of animals influenced by the environment, by other animals and by human-induced disturbance. Potential functions are found to provide an organized method for modelling drift coefficients while diffusion coefficients are modelled empirically.

Results of analyses are presented for the movement of elk in a large fenced reserve located in Oregon. In particular SDEs are used to describe the animals' behaviour when hikers, bicyclists, all terrain vehicles, and horse riders pass through the reserve in designated manners. The elk data are locations sampled along the trajectories, as are the disturbances' data.

ALAIN CONNES, Collège de France, 3 rue d'Ulm, 75231 Paris
Q-réseaux

Cet exposé est basé sur ma collaboration avec M. Marcolli et a pour sujet la mécanique statistique quantique des Q-réseaux. La notion de Q-réseau permet d'unifier mes résultats sur la réalisation spectrale des zéros des fonctions L avec ceux (en collaboration avec H. Moscovici) sur les formes modulaires et crochets de Rankin-Cohen. Cela permet aussi d'obtenir l'analogue pour GL(2) du système de mécanique statistique quantique, construit en collaboration avec J. B. Bost, intimement relié à la théorie du corps de classe pour Q, grâce au phénomène de brisure de symétrie et à la présence d'une sous-algèbre d'observables "rationnelles" qui permet de déceler les propriétés arithmétiques des états d'équilibre (états KMS). L'espace noncommutatif qui donne cet analogue pour GL(2) et qui est le thème de l'exposé est le quotient de l'espace des Q-réseaux de C par la relation de commensurabilité.

WALTER CRAIG, McMaster University, Hamilton, Ontario L8S 4K1, Canada
Resonances and invariant tori for Hamiltonian PDE

Many partial differential equations (PDE) of relevance to mathematical physics can be considered as Hamiltonian systems with infinitely many degrees of freedom. It is natural to extend the modern analytic methods of Hamiltonian mechanics to these PDE, in an effort to understand some of the principal features of the phase space in which they are posed. I will describe:

(1) a number of extensions of KAM theory of invariant tori to PDE,
(2) a point of view that poses the problem of invariant tori in terms of the calculus of variations, and
(3) the small divisor problems in infinitely many degrees of freedom that this analysis entails.

HENRI DARMON, McGill

EMMANUEL GIROUX, Ecole Normale Supérieure de Lyon, 46 allée d'Italie, 69364 Lyon Cedex 07, France
Open books in contact geometry

A contact structure on a manifold is a completely non-integrable field of tangent hyperplanes and so a purely infinitesimal geometric object. We will explain how to construct closed contact manifolds from certain compact symplectic manifolds and their symplectic selfdiffeomorphisms. We will show that any closed contact manifold can be obtained in this way by exhibiting open books adapted to any given contact structure. Finally, we will describe a few examples and discuss some applications of these results as well as related open problems.

LAURENT LAFFORGUE, IHES
Le lemme fondamental, d'après Gérard Laumon et Ngo Bao Chau

La théorie de l'endoscopie a été inventée il y a vingt ou trente ans par Robert Langlands dans le double but de calculer la cohomologie des variétés de Shimura et de réaliser le transfert automorphe des groupes classiques vers les groupes unitaires.

Jusqu'à une date récente, elle butait sur un problème combinatoire central, isolé par Langlands sous le nom de "lemme fondamental".

Récemment, Gérard Laumon et Ngo Bao Chau sont parvenus à démontrer ce "lemme fondamental" dans le cas des groupes unitaires. Ce travail repose sur une nouvelle interprétation géometrique en termes de fibration de Hitchin qui a été découverte par Ngo Bao Chau et vaut pour tous les groupes.

Le but de l'exposé est d'expliquer de quoi il s'agit et de présenter le nouvel ingrédient géometrique.

GABOR LUGOSI, Pompeu Fabra University, Barcelona
Moment inequalities for functions of independent random variables

A general method for obtaining moment inequalities for functions of independent random variables is presented. It is a generalization of the entropy method which has been used to derive concentration inequalities for such functions, and is based on a generalized tensorization inequality due to Latala and Oleszkiewicz. The new inequalities prove to be a versatile tool in a wide range of applications. We illustrate the power of the method by showing how it can be used to effortlessly re-derive classical inequalities including Rosenthal and Kahane-Khinchine-type inequalities for sums of independent random variables, moment inequalities for suprema of empirical processes, and moment inequalities for Rademacher chaos and U-statistics. Some of these corollaries are apparently new. In particular, we generalize Talagrand's exponential inequality for Rademacher chaos of order two to any order. We also discuss applications for other complex functions of independent random variables, such as suprema of boolean polynomials which include, as special cases, subgraph counting problems in random graphs.

Joint work with S. Boucheron, O. Bousquet, and P. Massart.

MIKHAIL LYUBICH, Toronto
Holomorphic Dynamics

Holomorphic dynamics is concerned with iterates of rational endomorphisms of the Riemann sphere. This field turns out to be very rich even in the simplest case of the quadratic family f_c (z) = z²+c. For instance, an innocent-looking problem of local connectivity of the Mandelbrot set (the bifurcation diagram for the quadratic family) is still unsettled and turned out to be intimately related to fundamental problems of rigidity and renormalization in dynamics and geometry. We will give an overview of the field from early days up to the most recent advances.

CHRISTOPHE REUTENAUER, Mathématiques UQAM, CP 8888, succ. Centre-Ville, Montréal, Québec H3C 3P8, Canada
Mots de Christoffel: approche géométrique et applications aux automorphismes du groupe libre sur deux générateurs

Les mots de Christoffel constituent une version finitaire des suites sturmiennes. Celles-ci sont liées aux fractions continues, aux tracés de droite dans le plan et à la combinatoire des mots palindromes, et sont étudiées depuis Bernoulli, Smith, Christoffel, Markoff, Morse, Hedlund et par de très nombreux auteurs à la fin du 20ème siècle. Nous donnerons quelques éléments de cette théorie, en privilégiant l'approche géométrique. Nous montrerons comment les mots considérés permettent de construire les bases du groupe libre à deux générateurs F₂. Puis nous montrerons comment les morphismes sturmiens, i.e. les substitutions qui préservent les suites sturmiennes, conduisent à un théorème de structure du groupe des automorphismes de F₂, qui fait intervenir le groupe des tresses à quatre brins.

ALAIN-SOL SZNITMAN, ETH Zurich
Random Motions in Random Media

The mathematical analysis of models of particles moving randomly in disordered environments has been very active over the last thirty years. It has uncovered a number of surprising effects and mathematical challenges. We will discuss some of these effects and challenges in this lecture.

MURAD TAQQU, Boston University
Cyclic flows and stable stationary processes

Rosinski has shown that one can decompose a stationary stable process into three independent components:

(1) a mixed moving-average process
(2) a harmonizable process
(3$'$) a component which is none of the above.

We show that one can identify a "cyclic" component in category (3¢). One can therefore decompose a stationary stable process into independent four components. The components (1) and (2) listed above, and

(3) a cyclic (non-harmonizable) process
(4) a process which is none of the above.

Category (4) contains for example the stationary sub-Gaussian processes. The cyclic processes (3) are related to cyclic flows. These processes are not ergodic. We characterize them, provide examples and show how to identify them among general stationary stable processes. This is joint work with Vladas Pipiras.

HENRY WOLKOWICZ, University of Waterloo, Dept Comb. & Opt., Waterloo, Ontario  N2L 3G1
Robust algorithms for large sparse semidefinite programming (SDP)

Semidefinite Programming, SDP, refers to optimization problems where the vector variable is a symmetric matrix which is required to be positive semidefinite. Though SDPs (under various names) have been studied as far back as the 1940s, the interest has grown tremendously during the last ten years. This is partly due to the many diverse applications in e.g. engineering, combinatorial optimization, and statistics. Part of the interest is due to the great advances in efficient solutions for these types of problems.

Current paradigms for search directions for primal-dual interior-point methods for SDP use:

(i) symmetrize the linearization of the optimality conditions at the current estimate;
(ii) form and solve the Schur complement equation for the dual variable dy;
(iii) back solve to complete the search direction.

These steps result in loss of sparsity and ill-conditioning/instability, in particular when one takes long steps and gets close to the boundary of the positive semidefinite cone. This has resulted in the exclusive use of direct, rather than iterative methods, for the linear system.

We look at alternative paradigms based on least squares, an inexact Gauss-Newton approach, and a matrix-free preconditioned conjugate gradient method. This avoids the ill-conditioning in the nondegenerate case. We emphasize exploiting structure in large sparse problems. In particular, we look at LP and SDP relaxations of the: Max-Cut; Quadratic Assignment; Theta function; Nearest Correlation Matrix; and Nearest Euclidean Distance Matrix problems.