XVI^{ième} OLYMPIADE MATHÉMATIQUE

DE L’ASIE DU PACIFIQUE Mars 2004

Temps alloué: 4 heures Aucune calculatrice n’est permise Chaque problème porte une valeur totale de 7 points

Problème 1.

Trouver tous les ensembles finis non vide S d’entiers positifs tels que

\frac{i + j}{(i, j)} soit un élément de S pour tout i, j dans S,

où (i, j) est le plus grand commun diviseur de i et j.

Problème 2.

Soit O le centre du cercle circonscrit à un triangle aigu, et H l’orthocentre du même triangle. Montrer que la superficie d’un des triangles AOH, BOH and COH est égale à la somme des superficies des deux autres.

Problème 3.

Soit S un ensemble donné comprenant 2004 points du plan cartésien, sans contenir trois points colinéaires. Soit maintenant L l’ensemble de toutes les droites (étendues indéfiniment dans les deux directions) déterminées par toutes les paires de points de l’ensemble. Montrer qu’il est possible de colorier les points de S avec au plus deux couleurs de sorte que pour tous points p, q de S, le nombre de droites dans L qui séparent p de q soit impair si et seulement si p et q aient la même couleur. Remarque: Une droite ℓ sépare deux points p et q si p et q se trouvent sur des côtés opposés de ℓ sans toucher la droite ℓ.

Problème 4.

Etant donné un nombre réel x, dénotons par ⌊x⌋ le plus grand entier plus petit ou égal à x. Montrer que

⌊\frac{(n − 1)!}{n(n + 1)}⌋

est pair pour tout entier positif n.

Problème 5.

Montrer que

(a^{2} + 2)(b^{2} + 2)(c^{2} + 2) ≥ 9(ab + bc + ca)

pour tous nombres réels a, b, c > 0.