XV^{ième} Olympiade Mathématique Asie–Pacifique Mars 2003

Temps alloué: 4 heures Aucune calculatrice n’est permise Chaque problème porte une valeur totale de 7 points

Problème 1.

Soient a, b, c, d, e, f des nombres réels tels que le polynôme

p(x) = x^{8} − 4x^{7} + 7x^{6} + ax^{5} + bx^{4} + cx^{3} + dx^{2} + ex + f

se factorise en huit facteurs linéaires x − x_{i}, avec x_{i} > 0 pour i = 1, 2, …, 8. Déterminer toutes les valeurs possibles de f.

Problème 2.

Supposons avoir une pièce carrée de carton ABCD dont chaque côté ait pour longeur a. Sur un plan on trouve deux droites parallèles ℓ_{1} et ℓ_{2}, distantes de a unités. Le carré ABCD est alors placé sur le plan de sorte que les côtés AB et AD intersectent ℓ_{1} en E et F respectivement. De même, les côtés CB et CD intersectent ℓ_{2} en G et H respectivement. Soient finalement m_{1} et m_{2} les périmètres des triangles △AEF et △CGH respectivement. Montrer que quoi que soit la façon de placer le carré, m_{1} + m_{2} demeure constant.

Problème 3.

Soit k ≥ 14 un entier, et soit p_{k} le plus grand nombre premier strictement plus petit que k. Vous pouvez supposer que p_{k} ≥ 3k/4. Soit maintenant un nombre composé n. Montrer que:

(a) si n = 2p_{k}, alors n ne divise pas (n − k)! ;

(b) si n > 2p_{k}, alors n divise (n − k)! .

Problème 4.

Soient a, b, c les longueurs des côtés d’un triangle, avec a + b + c = 1, et soit n ≥ 2 un entier. Montrer que

n \sqrt{a^{n} + b^{n}} + ^{n} \sqrt{b^{n} + c^{n}} + ^{n} \sqrt{c^{n} + a^{n}} < 1 + \frac{\sqrt[n]{2}}{2} .

Problème 5.

Étant donnés deux entiers positifs m et n, trouver le plus petit entier positif k tel que parmi k personnes quelconques, on y trouve ou bien 2m d’entre elles formant m paires de personnes se connaissent l’un l’autre, ou alors 2n d’entre elles formant n paires de personnes ne se connaissant pas l’un l’autre.