XII^{ème} OLYMPIADE MATHÉMATIQUE

DE L’ASIE DU PACIFIQUE 2000

Temps alloué: 4 heures Aucune calculatrice n’est permise Chaque problème porte une valeur totale de 7 points

Problème 1. Calculer la somme

S = ∑_{i=0}^{101} \frac{x_{i}^{3}}{1 − 3x_{i} + 3x_{i}^{2}}

où x_{i} = \frac{i}{101}.

Problème 2. Considérer l’arrangement de cercles suivant:

Chacun des nombres 1, 2, …, 9 doit être écrit dans l’un des cercles, de sorte que chaque cercle contienne exactement un de ces nombres et

• les sommes des quatres nombres de chaque côté doivent être égales;

• les sommes des carrés des quatres nombres de chaque côté doivent être égales.

Trouver toutes les façons possibles d’y réussir.

Problème 3. Soit ABC un triangle donné. Soient M et N les points de rencontre de la médianne et de l’angle bisecteur en A respectivement avec le côté BC. Soient de plus Q et P les points où la perpendiculaire à NA passant par N rencontre MA et BA respectivement, et finalement soit O le point où la perpendiculaire à BA passant par P rencontre AN.

Montrer que QO est perpendiculaire à BC.

Problème 4. Soient n, k des entiers positifs tels que n > k. Montrer que

\frac{1}{n + 1} · \frac{n^{n}}{k^{k}(n − k)^{n−k}} < \frac{n!}{k!(n − k)!} < \frac{n^{n}}{k^{k}(n − k)^{n−k}} .

Problème 5. Étant donné une permutation (a_{0}, a_{1}, …, a_{n}) de la suite 0, 1, …, n, on appele une transposition de a_{i} avec a_{j} légale si i > 0, a_{i} = 0 et a_{i−1} + 1 = a_{j}. La permutation (a_{0}, a_{1}, …, a_{n}) est dite régulière si après un certain nombre de transpositions légales, elle devienne (1, 2, …, n, 0). Pour quels nombres n la permutation (1, n, n − 1, …, 3, 2, 0) est-elle régulière?