OLYMPIADE MATHÉMATIQUE DE L’ASIE DU PACIFIQUE 1998

Temps alloué: 4 heures Aucune calculatrice n’est permise Chaque problème porte une valeur totale de 7 points

(1) Soit F l’ensemble des tous les n-uplets (A_{1}, A_{2}, …, A_{n}) où chacun des A_{i}, i = 1, 2, …, n est un sous-ensemble de {1, 2, …, 1998}. Soit maintenant |A| le nombre d’éléments de l’ensemble A. Trouver le nombre

∑_{(A_{1},A_{2},...,A_{n})} |A_{1} ∪ A_{2} ∪ … ∪ A_{n}|.

(2) Montrer que pour tout entier positif a et b, (36a + b)(a + 36b) ne puisse jamais être une puissance de 2.

(3) Soient a, b, c des nombres réels positifs. Montrer que

(1 + \frac{a}{b})(1 + \frac{b}{c})(1 + \frac{c}{a}) ≥ 2 (1 + \frac{a + b + c}{\sqrt[3]{abc}}) .

(4) Soit ABC un triangle et D le pied de la hauteur provenant de A. Soit maintenant deux points E et F sur la droite passant par D de sorte que AE soit perpendiculaire à BE, AF perpendiculaire à CF, et E et F différents de D. Si M et N sont respectivement les points milieux des segments de droite BC et EF, alors montrer que AN est perpendiculaire à NM.

(5) Déterminer le plus grand de tous les entiers n ayant la propriété que n soit divisible par tous les entiers positifs plus petits ou égaux à ^{3} \sqrt{n}.