PROBLÈMES DE SEPTEMBRE
Veuillez envoyer vos solutions à
Professeur E.J. Barbeau
Department of Mathematics
University of Toronto
Toronto, ON M5S 3G3
au plus tard le 31 octobre, 2001.
Notes. Un cube (ou tétraèdre) unité est
un cube (ou tétraèdre) dont tous les côtés
ont longueur 1.
- 90.
- Soit m, un entier. On note f(m) la plus petite valeur n pour laquelle l'énoncé suivant est vrai:
- Tout ensemble de n entiers, contient un sous-ensemble de m entiers dont la somme est divisible par m.
[Commentaire. On pose de nouveau ce problème,
puisqu'on a reçu aucune solution jusqu'à maintenant.
Pouvez-vous conjecturer la valeur de f(m)?
Il n'est pas difficile de trouver une borne inférieure
pour cette fonction. Une approche possible est
d'exprimer f(ab) en termes de f(a) et f(b),
ce qui permet de réduire le problème au cas où m est
premier. Cette approche donne accès à une structure
qui peut aider.]
- 103.
-
Trouvez une valeur du paramètre q
pour laquelle
est une fonction constante.f(x) º cos2 x + cos2 (x + q) -cosx cos(x + q)
- 104.
-
Démontrez qu'il existe exactement une suite
{ xn } d'entiers positifs telle que
pour n ³ 1.x1 = 1 , x2 > 1 , xn+13 + 1 = xn xn+2
- 105.
- Démontrez que dans un cube unité on peut placer deux tétraèdres unités sans qu'ils ne se touchent.
- 106.
-
Déterminez toutes les paires (x, y)
de nombres réels positifs qui réalisent la valeur minimale de
la fonction
Déterminez cette valeur minimale.f(x, y) = x4
y4+ y4
x4- x2
y2- y2
x2+ x
y+ y
x.
- 107.
-
Soit a1, a2, ¼an, des nombres
réels tels que
0 < a1 < a2 < ¼ < an. Pour quelle permutation
(b1, b2, ¼, bn) de ces nombres la valeur du produit
est-elle maximisée?n
Õ
i=1æ
ç
èai + 1
biö
÷
ø
- 108.
-
Déterminez toutes les fonctions à valeurs réelles
f(x) satisfaisant à l'équation
dès que x + y ¹ 0.f(xy) = f(x) + f(y)
x + y