PROBLÈMES DE JUIN

Veuillez envoyer vos solutions à

Professeur E.J. Barbeau
Department of Mathematics
University of Toronto
Toronto, ON M5S 3G3

85.

Trouvez toutes les paires (a, b) d'entiers positifs telles que a ¹ b et le système

cosax + cosbx = 0

asinax + bsinbx = 0

a une solution. Dans chaque cas, déterminez ces solutions.

86.

Soit ABCD, un quadrilatère convexe tel que AB = AD et CB = CD.

(a) Démontrez qu'il est possible d'y inscrire un cercle.

(b) Démontrez qu'on peut y circonscrire un cercle si et seulement si AB ^BC.

(c) Si AB ^AC et R, r sont les rayons respectifs des cercles circonscrit et inscrit, démontrez que la distance entre les centres des deux cercles est la racine carrée de R² + r² - rÖ[(r² + 4R²)].

87.

Démontrez que si, pour tout entier positif n, les nombres entiers a, b et c satisfont à l'équation

ëna û+ ënb û = ënc û,

alors au moins un des nombres a et b doit être entier.

88.

Soit I, un intervalle réel de longueur 1/n. Démontrez que I ne peut contenir plus de ¹/₂(n+1) fractions de la forme p/q, où p et q sont des entiers positifs tels que 1 £ p £ n et le plus grand diviseur commun de p et q est 1.

89.

Démontrez qu'il existe un seul triplet d'entiers positifs a, b, c supérieurs à 1 tel que ab + 1 est un multiple de c, bc + 1 est un multiple de a et ac + 1 est un multiple de b.

90.

Soit m, un entier positif, et f(m) la plus petite valeur n pour laquelle l'affirmation suivante est vraie:

étant donné n'importe quel ensemble de n entiers, il est possible d'y choisir m entiers dont la somme est divisible par m