PROBLÈMES D'AOÛT
Veuillez envoyer vos solutions à
E.J. Barbeau
Department of Mathematics
University of Toronto
Toronto, ON M5S 3G3
au plus tard le 30 septembre 2001. Ne soumettez pas vos solutions sous forme d'attachement électronique, à moins qu'il ne s'agisse d'un fichier TeX Assurez-vous que votre nom, adresse et adresse courriel figurent sur la première page de votre envoi.
Notes. Une hyperbole rectangulaire est
une hyperbole dont les assymptotes sont perpendiculaires.
- 97.
- Les trois sommets d'un triangle sont situés sur une hyperbole rectangulaire. Démontrez que l'orthocentre de ce triangle est aussi sur cette hyperbole.
- 98.
- Étant donné a1, a2, ¼, an+1, b1, b2, ¼, bn, des nombres réels non négatifs tels que
(ii) pour k = 1, 2, ¼, n on a 0 £ bk £ 1.
-
Supposons que m = ëb1 + b2 + ¼+ bn û+ 1. Démontrez que
n
å
k=1ak bk £ m
å
k=1ak .
- 99.
- Dans un triangle ABC on choisit un point E sur le côté AB et un point F sur le côté BC tels que AE = CF. Les cercles déterminés respectivement par les points A, B, F et B, C, Es'intersectent en deux points B et D. Démontrez que la droite passant par B et D est la bissectrice de l'angle ABC.
- 100.
- Dix points sont disposés régulierement autour d'un cercle. En joignant les points consécutifs, on obtient un décagone régulier P inscrit dans le cercle. En joignant chaque point au troisième point qui le suit (dans le sens horaire), on obtient un ``décagone régulier à auto-intersections'' Q. Démontrez que la différence entre la longueur du côté de Q et celle du côté de P est égale au rayon du cercle. [Merci à Ross Honsberger.]
- 101.
-
Soit a, b, u, v, des réels non négatifs.
Démontrez que si
a5 + b5 £ 1 et u5 + v5 £ 1, alors
[Merci à Ross Honsberger.]a2u3 + b2v3 £ 1 .
- 102.
- Démontrez qu'il existe un tétrahèdre ABCD dont toutes les faces sont des triangles rectangles similaires ayant des angles aigus à A et B. Déterminez quelle arête est la plus longue, laquelle est la plus courte, et le rapport entre leurs longueurs.